难点33　 函数的连续及其应用 函数的连续性是新教材新增加的内容之一.它把高中的极限知识与大学知识紧密联在一起.在高考中，必将这一块内容溶入到函数内容中去，因而一定成为高考的又一个热点.本节内容重点阐述这一块知识的知识结构体系. ●难点磁场 ()已知函数f(x)= (1)讨论f(x)在点x=－1,0,1处的连续性； (2)求f(x)的连续区间. ●案例探究 ［例1］已知函数f(x)=, (1)求f(x)的定义域，并作出函数的图象； (2)求f(x)的不连续点x0; (3)对f(x)补充参考答案

参考答案

难点磁场

解：(1)f(x)=3, f(x)=－1,所以f(x)不存在，所以f(x)在x=－1处不连续，

但f(x)=f(－1)=－1, f(x)≠f(－1),所以f(x)在x=－1处右连续，左不连续

f(x)=3=f(1), f(x)不存在，所以f(x)不存在，所以f(x)在x=1不连续，但左连续，右不连续.

又f(x)=f(0)=0,所以f(x)在x=0处连续.

(2)f(x)中，区间(－∞,－1),［－1,1］,(1,5］上的三个函数都是初等函数，因此f(x)除不连续点x=±1外，再也无不连续点，所以f(x)的连续区间是(－∞,－1),［－1,1］和(1,5.

歼灭难点训练

一、1.解析：

答案：A

2.解析：

即f(x)在x=1点不连续，显知f(x)在(0,1)和(1,2)连续.

答案：C

二、3.解析：利用函数的连续性，即,

答案：

答案：

三、5.解：f(x)=

(1) f(x)=－1, f(x)=1,所以f(x)不存在，故f(x)在x=0处不连续.

(2)f(x)在(－∞,+∞)上除x=0外，再无间断点，由(1)知f(x)在x=0处右连续，所以f(x)在［

－1，0］上是不连续函数，在［0,1］上是连续函数.

6.解：(1)f(－x)=

(2)要使f(x)在(－∞,+∞)内处处连续，只要f(x)在x=0连续，f(x)

= =

f(x)=(a+bx)=a,因为要f(x)在x=0处连续，只要　f(x)= f(x)

= f(x)=f(0),所以a=

7.证明：设f(x)=a₀x³+a₁x²+a₂x+a₃,函数f(x)在(－∞,+∞)连续，且x→+∞时，f(x)→+∞;x→－∞时，f(x)→－∞,所以必存在a∈(－∞,+∞),b∈(－∞,+∞),使f(a).f(b)＜0,所以f(x)的图象至少在(a,b)上穿过x轴一次，即f(x)=0至少有一实根.

8.解：不连续点是x=1,连续区间是(－∞,1),(1,+∞)